Investigación de operaciones
Introducción
¿Qué es?
Es una
disciplina que consiste en la aplicación de métodos analíticos avanzados con el
propósito de apoyar el proceso de toma de decisiones, identificando los mejores
cursos de acción posibles.
En este
contexto la investigación de operaciones utiliza técnicas de modelamiento
matemático, análisis estadístico y optimización matemática, con el objetivo de
alcanzar soluciones óptimas o cercanas a ellas cuando se enfrentan problemas de
decisión complejos.
¿Qué es la programación lineal?
La
programación lineal es un método mediante el cual se optimiza, ya sea
maximizando o minimizando una función lineal. Es decir, una ecuación de primer
grado, donde las variables están elevadas a la potencia 1.
Debemos
recordar que este tipo de ecuación es una igualdad matemática que puede tener
una o más incógnitas. Así, tiene la siguiente forma básica, donde a y b son las
constantes, mientras que x e y son las variables.
ax+b=y
Ahora,
mediante la programación lineal, se podría optimizar esta función, hallando el
máximo o el mínimo valor de y. Esto, tomando en cuenta que x está sujeta a
ciertas restricciones. Quizás es mayor a 0 y menor que 20, por ejemplo.
La Programación Lineal como herramienta de optimización es utilizada en aspectos relacionados a la administración eficiente de procesos en todos los ámbitos de la economía; convirtiéndose en una práctica habitual en la ciencia, la ingeniería y en los negocios, se usa principalmente para maximizar Ganancias o minimizar Costos.
Lo primero que se debe hacer para solucionar un problema de programación lineal es definir las variables, posteriormente la función objetivo y las restricciones.
Para dar solución a los problemas de programación lineal se utilizan tanto el método grafico como el método simplex
Método Grafico: se trata de realizar una grafica que muestre las soluciones Posibles, la desventaja es que solo permite la solución de problemas de dos variables
Método simplex: constituye un procedimiento iterativo algebraico que resuelve el problema en un numero finito de pasos.
Ejemplo:
Este ejemplo lo solucionaremos con el método grafico
Una compañía
fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se
necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para
el L2; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo L1 y de 10 minutos
para L2.
Se dispone
para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes.
Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción
para obtener el máximo beneficio.
1
Elección de las incógnitas.
x = nº de
lámparas L1
y = nº de
lámparas L2
2
Función objetivo
f(x, y) =
15x + 10y
3
Restricciones
Pasamos los
tiempos a horas
20 min = 1/3
h
30 min = 1/2
h
10 min = 1/6
h
Para
escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
L1 L2 Tiempo
Manual 1/3 1/2 100
Máquina 1/3 1/6 80
1/3x + 1/2y
≤ 100
1/3x + 1/6y
≤ 80
Como el
número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:
x ≥ 0
y ≥ 0
4
Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que
representar gráficamente las restricciones.
Al ser x ≥ 0
e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos
las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos
gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello, tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).
1/3·0 +
1/2·0 ≤ 100
1/3·0 +
1/6·0 ≤ 80
La zona de
intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema
de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. Estos son las soluciones a los sistemas:
1/3x + 1/2y
= 100; x = 0 (0, 200)
1/3x + 1/6y
= 80; y = 0(240, 0)
1/3x + 1/2y
= 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)
6
Calcular el valor de la función objetivo
En la
función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
f(x, y) =
15x + 10y
f(0, 200) =
15·0 + 10·200 = 2 000 €
f(240, 0 ) =
15·240 + 10·0 = 3 600 €
f(210, 60) =
15·210 + 10·60 = 3 750 € Máximo
La solución
óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener un
beneficio de 3 750 €
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